学习树离不开递归。
递归是一种解决问题的方法,它解决问题的各个小部分,直到解决最初的大问题。递归通常涉及函数调用自身。
通俗的解释:年级主任需要知道某个年级的数学成绩的平均值,他没法直接得到结果;年级主任需要问每个班的数学老师,数学老师需要问班上每个同学;然后再沿着学生-->老师-->主任这条线反馈,才能得到结果。递归也是如此,自己无法直接解决问题,将问题给下一级,下一级若无法解决,再给下一级,直到有结果再依次向上反馈。
我们常见的使用递归解决的问题,如下:
// 斐波拉契数列
function fibo(n) {
if (n === 0 || n === 1) return n; // 边界
return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);
}
// 阶乘
function factorial(n) {
if (n === 0 || n === 1) return 1; // 边界
return facci(n - 1) * n;
}
他们有共同的特点,也是递归的特点:
以斐波拉契数列举例,下面是n=6时斐波拉契数列的计算过程。
我们可以发现,这里面存在许多重复的计算,数列越大重复计算越多。
如何避免呢?利用缓存,将fib(n)计算后的值存储,后面使用时,若存在直接取用,不存在则计算
(1)缓存Memoizer
const fibo_memo = function() {
const temp = {0: 0, 1: 1}; // 需要用闭包缓存
return function fib(n) {
if (!(n in temp)) { // 缓存中无对应数据时,向下计算查找
temp[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
return temp[n];
}
}()
(2)递推法(动态规划)
动态规划并不属于高效递归,但是也是有效解决问题的一个方法。
动态规划:从底部开始解决问题,将所有小问题解决掉,然后合并成一个整体解决方案,从而解决掉整个大问题;
递归:从顶部开始将问题分解,通过解决掉所有分解的小问题来解决整个问题;
使用动态规划解决斐波那契数列
function fibo_dp(n) {
let current = 0;
let next = 1;
for(let i = 0; i < n; i++) {
[current, next] = [next, current + next];
}
return current;
}
(3)效率对比
const arr = Array.from({length: 40}, (_, i) => i);
// 普通
console.time('fibo');
arr.forEach((e) => { fibo(e); });
console.timeEnd('fibo');
// 缓存
console.time('fibo_memo');
arr.forEach((e) => { fibo_memo(e); });
console.timeEnd('fibo_memo');
// 动态规划
console.time('fibo_dp');
arr.forEach((e) => { fibo_dp(e); });
console.timeEnd('fibo_dp');
// 打印结果【40】
fibo: 1869.665ms
fibo_memo: 0.088ms
fibo_dp: 0.326ms
// 当打印到【1000】时,普通的已溢出
fibo_memo: 0.370ms
fibo_dp: 16.458ms
总结:从上面的对比结果可知,使用缓存的性能最佳
一个树结构包含一系列存在父子关系的节点。每个节点都有一个父节点(除了顶部的第一个节点)以及零个或多个子节点:
关于数的深度和高度的问题,不同的教材有不同的说法,具体可以参考树的高度和深度以及结点的高度和深度这篇文章
二叉树是树的一种特殊情况,每个节点最多有有两个子女,分别称为该节点的左子女和右子女,就是说,在二叉树中,不存在度大于2的节点。
二叉搜索树(BST)是二叉树的一种,但是它只允许你在左侧节点存储(比父节点)小的值, 在右侧节点存储(比父节点)大(或者等于)的值。
上图展示的便是二叉搜索数
满二叉树:深度为k的满二叉树,是有2^(k-1)个节点的二叉树,每一层都达到了可以容纳的最大数量的节点
// 基类
class BinaryTreeNode {
constructor(data) {
this.key = data;
this.left = null;
this.right = null;
}
}
下图展现了二叉搜索树数据结构的组织方式:
//二叉查找树(BST)的类
class BinarySearchTree {
constructor() {
this.root = null; // 根节点
}
insert(){} // 插入节点
preOrderTraverse(){} // 先序遍历
inOrderTraverse(){} // 中序遍历
postOrderTraverse(){} // 后序遍历
search(){} // 查找节点
getMin(){} // 查找最小值
getMax(){} // 查找最大值
remove(){} // 删除节点
}
insert某个值到树中,必须依照二叉搜索树的规则【每个节点Key值唯一,最多有两个节点,且左侧节点值<父节点值<右侧节点值】
不同情况具体操作如下:
insert(key) {
const newNode = new BinaryTreeNode(key);
if (this.root !== null) {
this.insertNode(this.root, newNode);
} else {
this.root = newNode;
}
}
insertNode(node, newNode) {
if (newNode.key < node.key) {
if (node.left === null) {// 左侧
node.left = newNode;
} else {
this.insertNode(node.left, newNode);
}
} else {
if (node.right === null) {// 右侧
node.right = newNode;
} else {
this.insertNode(node.right, newNode);
}
}
}
下图为在已有BST的基础上插入值为6的节点,步骤如下:
树的遍历,核心为递归:根节点需要找到其每一个子孙节点,但是并不知道这棵树有多少层。因此,它找到其子节点,子节点也不知道,依次向下找,直到叶节点。
访问树的所有节点有三种方式:中序、先序和后序。下面依次介绍
(1)中序遍历
中序遍历是一种以上行顺序访问BST所有节点的遍历方式,也就是以从最小到最大的顺序访问所有节点。中序遍历的一种应用就是<u>对树进行排序操作</u>
inOrderTraverse(callback) {
this.inOrderTraverseNode(this.root, callback);
}
inOrderTraverseNode(node, callback) {
if (node !== null) {
this.inOrderTraverseNode(node.left, callback);
callback(node.key);
this.inOrderTraverseNode(node.right, callback);
}
}
下面的图描绘了中序遍历方法的访问路径:
(2)先序遍历
先序遍历是以优先于后代节点的顺序访问每个节点的。先序遍历的一种应用是<u>打印一个结构化的文档</u>
preOrderTraverse(callback) {
this.preOrderTraverseNode(this.root, callback);
}
preOrderTraverseNode(node, callback) {
if (node !== null) {
callback(node.key);
this.preOrderTraverseNode(node.left, callback);
this.preOrderTraverseNode(node.right, callback);
}
}
下面的图描绘了先序遍历方法的访问路径:
(3)后序遍历
后序遍历则是先访问节点的后代节点,再访问节点本身。后序遍历的一种应用是<u>计算一个目录和它的子目录中所有文件所占空间的大小</u>
postOrderTraverse(callback) {
this.postOrderTraverseNode(this.root, callback);
}
postOrderTraverseNode(node, callback) {
if (node !== null) {
this.postOrderTraverseNode(node.left, callback);
this.postOrderTraverseNode(node.right, callback);
callback(node.key);
}
}
下面的图描绘了后序遍历方法的访问路径:
(1)最值
观察下图,我们可以非常直观的发现左下角为最小值,右下角为最大值
具体代码实现如下
getMin() {
const ret = this.getMinNode();
return ret && ret.key;
}
getMinNode(node = this.root) {
if (node) {
while (node && node.left !== null) {
node = node.left;
}
}
return node;
}
getMax() {
const ret = this.getMaxNode();
return ret && ret.key;
}
getMaxNode(node = this.root) {
if (node) {
while (node && node.right !== null) {
node = node.right;
}
}
return node;
}
(2)find()方法
递归找到与目标key值相同的节点,并返回;具体实现如下:
find(key) {
return this.findNode(this.root, key);
}
findNode(node, key) {
if (node === null) {
return null;
}
if (key < node.key) {
return this.findNode(node.left, key);
}
if (key > node.key) {
return this.findNode(node.right, key);
}
return node;
}
移除节点是这一类方法中最为复杂的操作,首先需要找到目标key值对应的节点,然后根据不同的目标节点类型需要有不同的操作
remove(key) {
return this.removeNode(this.root, key);
}
removeNode(node, key) {
if (node === null) {
return null;
}
if (key < node.key) { // 目标key小于当前节点key,继续向左找
node.left = this.removeNode(node.left, key);
return node;
}
if (key > node.key) { // 目标key小于当前节点key,继续向右找
node.right = this.removeNode(node.right, key);
return node;
}
// 找到目标位置
if (node.left === null && node.right === null) { // 目标节点为叶节点
node = null;
return node;
}
if (node.right === null) { // 目标节点仅有左侧节点
node = node.left;
return node;
}
if (node.left === null) { // 目标节点仅有右侧节点
node = node.right;
return node;
}
// 目标节点有两个子节点
const tempNode = this.getMinNode(node.right); // 右侧最小值
node.key = tempNode.key;
node.right = this.removeNode(node.right, node.key);
return node;
}
目标节点为叶节点图例:子节点赋值为null,并将目标节点指向null
目标节点为仅有左侧子节点或右侧子节点图例:将目标节点的父节点指向子节点
目标节点有两个子节点:根据BST的构成规则,以目标节点右侧树最小值替换重新连接
据结构是指相互之间存在着一种或多种关系的数据元素的集合和该集合中数据元素之间的关系组成。包括三个组成成分:数据的逻辑结构、物理结构(存储结构)、数据运算结构。
一个具有层级结构的数据,实现这个功能非常容易,因为这个结构和组件的结构是一致的,递归遍历就可以了。但是,由于后端通常采用的是关系型数据库,所以返回的数据通常会是这个样子:前端这边想要将数据转换一下其实也不难,因为要合并重复项
数组不总是组织数据的最佳数据结构,在很多编程语言中,数组的长度是固定的,所以当数组已被数据填满时,再要加入新的元素就会非常困难。在数组中,添加和删除元素也很麻烦,因为需要将数组中的其他元素向前或向后平移。
图由边的集合及顶点的集合组成。边是有方向的是有序图(有向图),否则就是无序图(无向图)。图中的一系列顶点构成路径,路径中所有的顶点都由边连接。路径的长度用路径中第一个顶点到最后一个顶点之间边的数量表示。
Set 是ES6提供的一种新的数据结构,它允许你存储任何类型的唯一值,而且Set中的元素是唯一的。我们用new操作符来生成一个Set对象,set结构的实例有以下属性
链表更加像是数组。链表和数组都是用于存储有序元素的集合,但有几点大不相同,链表的实现不像之前介绍的栈和队列一般依赖于数组(至少我们目前是这样实现的),它必须自己构建类并组织逻辑实现。我们先创建一个Node类
集合set是一种包含不同元素的数据结构。集合中的元素成为成员。集合的两个最重要特性是:集合中的成员是无序的;集合中不允许相同成员存在,计算机中的集合与数学中集合的概念相同,有一些概念我们必须知晓:
给定一个字符串,你需要反转字符串中每个单词的字符顺序,同时仍保留空格和单词的初始顺序。主要就是用到了数组的 split 、 reverse 、 join 、 map 方法,原理:就是把字符串变成数组
链表和数组的对比:在大多数语言中,数组的大小是固定的,从数组的起点或中间添加或删除元素的成本很高,因为需要移动元素,链表中的每一个元素在内存中不是连续放置的,和它左右两侧元素是没有关系的
什么是数据结构?简单来说可以解释为:程序设计=数据结构+算法;主要是用来研究数据结构的关系,数据元素之间存在的一种或多种特定关系的集合;
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